Atur L’Hôpital

Atur L’Hôpital (loh-pee-TAHL), tauka dikelala enggau nama atur Bernoulli, iya nya teorem matematik ti ngemendarka nilai taka tukuh ti enda tentu ngena derivatif. Aplikasyen (tauka aplikasyen ti diulang) atur nya suah nukar tukuh ti enda tentu ngagai ekspresyen ti ulih diperesa enggau mudah ngena chara ganti. Atur tu diberi nama nitihka nama pakar matematik Perancis abad ke-17, Guillaume de l’Hôpital. Taja pan atur tu suah dikaulka enggau de l’Hôpital, teorem tu keterubah iya diberi pakar matematik Switzerland Johann Bernoulli ngagai iya kena taun 1694.

Atur L’Hôpital madahka ungkup fungsyen $f$ enggau $g$ ti didefinisyenka ba takah tebuka I lalu ulih didiferensyal ba ${\textstyle I\setminus \{c\}}$ ungkup titik gelumu $c$ (engka nadai taka) ari $I$ , enti ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ enggau ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ ungkup semua $x$ dalam ${\textstyle I\setminus \{c\}}$ , enggau ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ bisi, udah nya

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.

Diferensyal pembilang enggau penyebut suah ngemudahka quotient tauka nukar iya ngagai taka ti ulih diperesa terus ngena penerus.

Sejarah

Guillaume de l’Hôpital (ke mega ditulis l’Hospital) mansutka atur tu dalam bup iya taun 1696 Analisis Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (salin literal: Analisis Mit Nadai Pengujung ungkup Pemereti Ati Garis Belengkung) bup keterubah iya dalam kalkulus diferensyal^[1] Taja pia, dipelabaka atur tu ditemu pakar matematik Switzerland Johann Bernoulli.^[2]

Tukuh rama

Tukuh rama atur l’Hôpital mungkur mayuh kes. Awakka $c$ enggau $L$ nyadi lumur bendar ti dipanjai : lumur bendar, pia mega infiniti positif enggau negatif. Awakka $I$ nyadi takah tebuka ti ngundan $c$ (ungkup taka dua piak) tauka takah tebuka enggau ujung $c$ (ungkup taka sepiak, tauka taka ba infiniti enti $c$ nya infiniti). Atas $I\smallsetminus \{c\}$ , fungsyen $f$ enggau $g$ ti benilai bendar ulih didiferensyal ngena $g'(x)\neq 0$ . Pia mega dikumbai ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ , taka ti bisi sekat tauka nadai sekat.

Entara $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ tauka $\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,$ lalu $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.$ Taja pan kitai udah nulis sepemanjai $x \to c$ sepemanjai, taka nya mega tau nyadi taka sepiak ( $x \to c +$ tauka $x \to c -$ ), lebuh $c$ nyadi ujung ti tetap ari $I$ .

Ba kes kedua, hipotesis ti madahka $f$ ngelimpangka ngagai infiniti enda dikena; iya ke bendar, udah chukup enti ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

Hipotesis ti madahka $g'(x)\neq 0$ tampak pemadu suah dalam litaricha, tang sekeda penulis ngelimpangka hipotesis tu enggau nambahka hipotesis bukai ti mai reti $g'(x)\neq 0$ . Ambika chunto,^[3] siku-siku tau begunaka dalam definisyen taka ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ nya fungsyen ${\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ mesti didefinisyenka ba dini-dini endur ba takah $I\smallsetminus \{c\}$ . Chara bukai^[4] iya nya minta kededua $f$ enggau $g$ ulih dibida ba dini-dini endur ba takah ti ngundan $c$ .

Kereban sanding

↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.
↑ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. Extract of page 321
↑ (Chatterjee 2005)
↑ (Krantz 2004)

Sumber

Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, doi:10.1515/crll.1936.174.246, S2CID 199546754
Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59 (1): 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, JSTOR 2307183, MR 0044602
Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (in Perancis), 47: 117–128, MR 0034430

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.

[2] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. Extract of page 321

[3] (Chatterjee 2005)

[4] (Krantz 2004)

[1]

[2]

[3]

[4]